高二数学大题？1 a 2 + 9 4b 2 =1 c a = 1 2 a 2 =b 2 +c 2 .解得a 2 =4，b 2 =3，故椭圆C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1．（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直 线l的方程为y=k（x-2）+1，那么，高二数学大题？一起来了解一下吧。
双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)具有性质：若P,Q是双曲线上关于原点O对称的两点,点R是双曲线上任意一点,当直线PR,QR的斜率都存在,并记绝野悔为k1,k2,则k1·k2是并正与点R位置无关的定值。
证明：设P为(m,n),则Q为(-m,-n),又设R为(x,y)，
∵x²/a²-y²/b=1,m²/a²-n²/b²=1,
两脊液式相减,得：(x-m)(x+m)/a²-(y-n)(y+n)/b²=0,
∴k1=(y-n)/(x-m)=b²(x+m)/a²(y+n)，
同理可得k2=(y+n)/(x+m)=b²(x-m)/a²(y-m)，
∴k1·k2=b²·b²(x²-m²)/a²·a²(y²-n²)
=b²·a²(y²-n²)/a²·a²(y²-n²)=b²/a²(定值)。
1、根据题意可设椭圆方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),
因为抛物线x²告哪咐=4y,所以抛物线的焦点为（0，1）,所以b=1
因为e=√2/2，所以c/a=√2/2,所以a²=2
所以椭圆缓搭方程为x²/2+y²=1
2、设M(x1,y1)、N(x2,y2),将y=x+m代入椭圆方程，可得3x²+4mx+2m²-2=0,
所以x1+x2= -4m/3,x1x2=(2m²-2)/3
所以AB=√2* ︱x1-x2︱=4√(3-m²) /3（-√3 而△OMN的高即原点到直线的距离，等于︱m︱/√2 所以S=1/2*︱m︱/√2*4√(3-m²) /3=√2/3*√[-(m²-3/2) ²+9/4] ≤√2/3*3/2=√2/2, 此时m=√6/2或-√6/2 高二数学试题（理科） (考试时间：120分钟 总分：160分) 命题人：朱占奎 张圣官 展国培 张敏 审题人：丁凤桂 石志群 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 参考公式：数学期望：E(x)? 方差：V(x)??[x?E(x)]?xp， ii i i?1 i?1 n n 2 pi??xi2pi?[E(x)]2 i?1 n 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．复平面内，复数z?1?i所对应的点在第 2．命题“?x?R，使得2sinx?1成立”的否定是． 23．已迅旅知?1?2x??a0?a1x?a2x? 10 ?a10x10，则a0?a1?a2?a3??a01? 4．写出命题“若abc?0，则b?0”的逆否命题：． 5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲、乙相邻的不同排法种数是．（用数字作答） 6．若复数z满足z?1?i?1，则复数z的模的值是． 7．命题：若x12?y12?1，则过点?x1,y1?的直线与圆x?y?1有两个公共点．将此命题 2 2 类比到椭圆x?2y?1中，得到一个正确命题是 ▲ ． 8．某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击10次，设击中目标的次数为X， 则E?X?= ▲ ． 9．已知：1?1;1?2??1;1?2?3?2;1?2?3?4??2;1?2?3?4?5?3;请写出第100个等式： ▲ ． ，按此规律 22 2?i201510．已知复数z1??1?i??2i?1?和复数z2?m?，当m为 ▲ 时，z1?z2． 1?i x?13 11．已知4C17，则x?． ?17C16 11111n?1 12．在用数学归纳法证明“对一切大于2的正整数n，?????n?” 246824 的过程中，从n?k到n?k?1时，左边增加的项数为 ▲ ． 13．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手， 其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选， 则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有 ▲ 种．（用数字作答） nn?1n?2 14．已知?x?a??m1x?m2x?m3x? n ?mnx?mn?1，其中n?N*,a为常数．则 下列所有正确命题的序号是 ▲ ． ⑴“m1,m2,m3, ； ,mn?1中存在负数”的一个充分条件是“a??1” ⑵若n?5，则“1?a?2”是“m4为m1,m2,m3,条件； ,m6中的一个”的必要不充分 ⑶若n?5，则“不等式m1?m2,m2?m3,m3?m4,m4?m5,m5?m6中恰有3个成立”的充要条件是“1?a?2”； ⑷若a?0，则“n是4的倍数”是“m1?m2?m3 mn?1?0”的充分不必要条件． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解哗培答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分） 已知圆C：x?y?1在矩阵M??⑴求曲线C1的方程； ⑵求逆矩阵M； ⑶求矩阵M的特征值和特征向量． 16．（本题满分14分） 已知直线l过点P?4,0?，且倾斜角为⑴求直线l的极坐标方程； ?1 22 ?20? ?所对应的变换作用下变为曲线C1． 01?? 3π ． 4 12?x?t??8 ⑵求直线l被曲线C:?（t为参数）截得的弦长． ?y?1t??2 17．（本题满分14分） 一个盒子内装有形状和大小完全相同的3个红球和n个白球，事件“从中取出两个球，恰好有一个红球”发生的概率为p． ⑴若p? 4， 7 ①求从盒子内取出3个球中至少有一个红球的概率； ②设X为取出的4个球中红球的个数，求X的数学期望E?X?和方差V?X?． ⑵求证：p? 3； 5 18．（本题满分亩芦凳16分） a2 和g?x??x?2ax?2． x ⑴命题p:?x??2,???，f?x??2恒成立；命题q:函数g?x?在?2,???上单调递增．若p和q都是真命题，求实数a的取值范围； 已知函数f?x??x?⑵设F?x??? ??f?x?,x?2 ，若对?x1??2,???，总存在x2????,2?，使得 ??g?x?,x?2 F?xF?2?x成立，求实数a的取值范围． 1?? 19．（本题满分16分） 设集合A,An,1,A2,A3, 中元素的个数分别为1,2,3,,n, ．现从集合 An,An?1,An?2,An?3中各取一个元素，记不同取法种数为f(n)． ⑴求f(1)； ⑵是否存在常数a,b，使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)对任 * 意n?N总成立？若存在，请求出a,b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理 由． 20．（本题满分16分） 已知等差数列{an}的公差为d，且(a1x?d)5的展开式中x与x的系数之比为2． a3?5，⑴求(a1x?a2)6的展开式中二项式系数的项； ⑵设[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2? 2 3 ?b2n(x?2)2n，n?N*，求 a1b1?a2b2??a2nb2n； an?1 ⑶当n?2时，求证：(an?1) ?11?16n?8n4． 2014～2015学年度第二学期期末联考 高二数学试题（理科）参考答案 1．四 2．?x?R，2sinx?1总成立 3．1 4．若b?0，则abc?0 1 2222 7．若x1?2y1?1，则过点?x1,y1?的直线与椭圆x?2y?1有两个公共点 8．8 9．1?2?3?4??99?100??50 k?1 10．?4 11．5或14 12．2 13．930 14．⑴⑶⑷ ?,y0?)，则 15．解：⑴设P(x0,y0)为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一点P?(x0 5．12 6． ???20??x0??x0 ?y????01??y?， ??0??0??x????2x0?x0?x0?0 即?，所以，?2 ??y0?y0???y0?y0 ?2x0 ?2?1． ?y0又因为点P在曲线x?y?1上，所以x?y?1，故有4x222 ?y2?1．…………4分 即圆C：x?y?1在矩阵M对应的伸压变换下变为椭圆：4 ?xy??20??xy??10? ⑵设矩阵M的逆矩阵为??，则?01??zw???01?， zw???????? 1?x??2 ?2x2y??10??y?0即? ???01?，故?zw?????z?0 ? ?w?1?1? 0?1 ?． …………8分 从而所求的逆矩阵M??2?01??? ??20 ⑶矩阵M的特征多项式为f(?)??(??2)(??1)， 0??1 令f(?)?0，解得矩阵M的特征值?1?2，?2?1． …………10分 ?(??2)x?0?y?0 将?1?2代入二元一次方程组? ?0?x?(??1)y?0 解得y?0，x可以为任何非零实数，不妨记x?k,k?R，且k?0． ?1? 于是，矩阵M的属于特征值2的一个特征向量为??． …………12分 ?0? ?(??2)x?0?y?0 将?2?1代入二元一次方程组? ?0?x?(??1)y?0 解得x?0，y可以为任何非零实数，不妨记y?m,m?R，且m?0． ?0? 于是，矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为??． ?1? ?1??20? ??2??1因此，矩阵M??的特征值为，，分别对应的一个特征向量是，12??? ?0??01? 2 2 2 020 ?0? ?1?． …………14分 ?? 16．解：⑴设直线l上任意一点为Q(?,?)， 如图，在?POQ中，由正弦定理得 OQOP ? sin?OPQsin?OQP 3?4??)?22．，即?sin(34sin??；3???)?22．…………7分所以，直线的极坐标；12⑵应用代入消元法，得x?(2y)，8；因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛；直线l的普通标方程是x?y?4；设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x；?x?y?4?y1?2?y2??4；AB?(8?2)2?(?4?2)2?62；所以，直 -------------------------------------------------------------------------------- 3?4??)?22． ，即?sin(34sin??)44 3???)?22． …………7分 所以，直线的极坐标方程是?sin(4 12⑵应用代入消元法，得x?(2y)， 8 因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛物线． 直线l的普通标方程是x?y?4 设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x2,y2)， 于是???y2?2x?x1?2?x2?8联立成方程组，得?，?或?， ?x?y?4?y1?2?y2??4 AB?(8?2)2?(?4?2)2?62 所以，直线l被曲线截得的弦长为62． …………14分 17．解⑴记“从中取出两个球，恰好有一个红球”为事件A 113C3C6n4P(A)?2n?2?，(n?4)(2n?3)?0，解得n?4或n?（舍） 2Cn?3n?5n?67 故n?4． …………2分 ①事件“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”是事件“从盒子中取出3个球都是白球”的对立事件，记“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”为事件B，则记“从盒子中取出3个球都是白球”为B． 3C44P(B)?3?， C735 31． 35 31答：从盒子中取出3个球中至少有一个红球的概率为． …………6分 35 ②用随机变量X为取出的4个球中红球的个数，则X服从超几何分布H(4,3,7)． 随机变量X的可能值有4种，它的取值集合是?0,1,2,3?． 根据对立事件的概率公式P(B)?1?P(B)，得P(B)? 4C41 P(X?0)?4?C735 13C3C412P(X?1)?? 435C7 2C32C418 P(X?2)??435C7 6 31C3C44 P(X?3)??435C7 随机变量X 1?1??2??3???． 从而E(X)?0?35353535357 n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1 2414424???． 49749 1224答：随机变量X的数学期望为，方差为 …………10分 749 11C3Cn3n6n6???⑵证法一：P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n 63?记f(n)?n?,n?N当n=2或3时取最小值为5，P?． …………14分 n5 证法二：反证法． 36n3?，即n2?5n?6?0，解得2?n?3 ，即25n?5n?65 33*因为n?N，所以不存在正整数n，满足P?．因此，P?． …………14分 55假设P? 18．⑴命题p:不等式x? 2a?2在?2,???上恒成立， x即a??x?2x在?2,???上恒成立， 即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立， 2 即a?0． …………2分 命题q:函数g?x??x?2ax?2在?2,???上单调递增 2 即a?2． 若p和q都是真命题，则0?a?2． 所以，实数a的取值范围是?0,2?． …………4分 a在x??2,???上的值域记作集合M， x g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域记作集合N， 由题意可得，M?N． ⑵f(x)?x? 7 （ⅰ）当a?0时，满足M?N， …………5分 （ⅱ）当a?0或0?a?2时，x??2,???f?(x)?0， a在x??2,???上单调递增， x ?a?集合M???2,???， ?2? g?x??x2?2ax?2在???,a?上单调递减，在?a,2?上单调递增， 则f(x)?x? 集合N??a2?2,??， ?? a1?2，即a?0或a?? 22 1又a?0或0?a?2，所以a??或0?a?2． …………8分 2 （ⅲ）当2?a?4时，x??2,???时f?(x)?0， a?a?则f(x)?x?在x??2,???上单调递增，集合M???2,???， x?2? g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， 因为M?N，所以?a?2?2 4??2?a?a因为M?N，所以?即2?a?4． …………12分 6?4a??2?2? （ⅳ）当a ?4时，x??时f ?(x)?0，x???时f?(x)?0 ?? 则f (x)的单调减区间是?，单调增区间是??，集合M????， ? ? g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， ?? 因为M?N，所以? 综上，a??a?4?即a?4． ?6?4a?2a1或a?0． …………16分 2 19．解：⑴从A1中取一个元素，有1种取法；从A2中取一个元素，有2种取法，依次类推，不同取法种数为4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3) 1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53 用数学归纳法证明如下： ①当n?1时，左边?f(1)?24，右边?1534?3?3??3?24 55 8 左边?右边，所以当n?1时命题成立； …………9分 ②假设当n?k时命题成立，即 14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)， 55 则当n?k?1时，f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1) 14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55 1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5 1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5 1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5 141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555 1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5 1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5 从而当n?k?1时，命题也成立． f(1)?f(2)? 综上可知，原命题成立． …………16分 323220．解：(a1x?d)5的展开式中含x的项为C5a1dx?10a12d3x2，含x的项为23 10a12d3d??2，得d?2a1，又a1?2d?5， Cadx?10adx，所以3210a1da12351233123 解得a1?1,d?2，所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3，(a1x?a2)6?(x?3)6， 则(x?3)的展开式中二项式系数的项为T4?C6x(?3)??540x；…………6分 ⑵a1?1,a3?5，则[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n 01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1? 01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333 ?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2? ∴b1?b3?b5? ∴a1b1?a2b2? 12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0，b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7Cn?11Cn? 0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 则S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn? 9 nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn? 012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1 n?Cn)?2 ∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1 2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n) ∵n?2 ∴2n?4 ∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22 5?42n?C2 52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4 2?11?16n?8n4 10 16分 ………… （Ⅰ）设椭圆C的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a ＞b＞0)，由题意得以下方程组 1 a 2 + 9 4b 2 =1 c a = 1 2 a 2 =b 2 +c 2 . 解得a 2 =4，b 2 =3，故椭圆C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1． （Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直 线l的方程为y=k（x-2）+1， 由 x 2 4 + y 2 3 =1 y=k(x-2)+1 得（3+4k 2 ）x 2 -8k（2k-1）x+16k 2 -16k-8= 0． 因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B ，设A，B两点的坐标分别为（x 1 ，y 1 ）， （x 2 ，y 2 ）冲隐山， 所以△=[-8k（2k-1）] 2 -4•（3+4 k 2 ）•（16k 2 -16k-8）＞0． 整理得32（6k+3）＞0． 解得k＞-1 2 ． 又x 1 +x 2 = 8k(2k-1) 3+4k 2 ，携野x 1 x 2 = 16k 2 -16k-8 3+4k 2 ， 且 PA • PB = PM 2 ，即(x 1 -2)(x 2 -2)+(y 1 -1)(y 2 -1)= 5 4 ， 所以(x 1 -2)(x 2 -2)(1+k 2 )=|P M| 2 = 5 4 ．即[x 1 x 2 -2(x 1 +x 2 )+4] (1+k 2 )= 5 4 ． 所以[ 16k 2 -16k-8 3+4k 2 -2 8k(2k-1) 3+4k 2 + 4](1+k 2 )= 4+4k 2 3+4k 2 = 5 4 ，解得k=± 1 2 ． 所以散中k= 1 2 ．于是存在直线l满足条件，其的 方程为y= 1 2 x． 解：由题意得：曲线段C为抛物线的一部分 且点N为睁败焦点，L2为准线 以MN中点为原点O，以过O与L2平行的直线为Y轴，以L1为X轴，建立平面直角坐标系 由于抛物线焦点在X轴右侧，则设抛物线：y^2=2px (p>0) 则：N(p/2,0),M(-p/2,0),L2:x=-p/2 过A作AA'垂直L2于A' 则由抛物线定义知：AA'=AN=3 则Rt三角形橡早雹AMA'中，A'M=2√2 则yA=2√2 过A作AP垂直X轴于P，则AP=2√2 则：PM=√[AM^2-AP^2]=3,NP=√[AN^2-AP^2]=1 则：PM+NP=p=4 则抛物线：y^2=8x 又：xA-(-p/2)=PM 则:xA=1 因为xB-(-p/2)=BN=6 则：xB=4 则梁帆：曲线段C的方程：y=2√(2x) [1= 以上就是高二数学大题的全部内容，10、已知圆C：x2+y2一2x＋4y一4＝0,直线l：2x＋y＝0，则圆C上的点到直线1的距离*大值为（）A、1B、2C、3D、4 二、填空题（请*恰当的答案填在答卷上，每小题4分，共20分）11、___12、以（-2。高二数学题库及答案
清华最难奥数题
数学题100道高二
